Дерево вариантов в задачах на вероятность: как рисовать и считать
Задачи на сложные события в профильном ЕГЭ часто выглядят запутанно: батарейка может быть исправной или нет, система контроля может ошибиться или сработать верно. Держать все варианты в голове трудно, и ошибка появляется не в арифметике, а в том, какие вероятности перемножить и какие сложить. Дерево вариантов превращает этот хаос в картинку, по которой видно каждый шаг.
Как устроено дерево
От корня расходятся ветки: каждая ветка обозначает один вариант того, что может случиться на первом шаге. На каждой ветке подписывают её вероятность. От конца каждой ветки расходятся новые, уже для второго шага. Путь от корня до конца ветки описывает одну полную историю.
Два правила счёта:
- Вдоль одного пути вероятности перемножают.
- Если к нужному событию ведут несколько путей, их вероятности складывают.
Это и есть правило полной вероятности, нарисованное на бумаге.
Пример с батарейкой
Условные данные: батарейка неисправна с вероятностью 0,02. Неисправную система контроля бракует с вероятностью 0,99, а исправную по ошибке бракует с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что случайную батарейку забракуют?
Батарейку бракуют двумя путями:
| Путь | Вероятность пути |
|---|---|
| неисправна и забракована | 0,02 · 0,99 = 0,0198 |
| исправна, но забракована по ошибке | 0,98 · 0,01 = 0,0098 |
Складываем пути: 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.
На дереве сразу видно, откуда взялось 0,98: вероятности веток из одной точки в сумме дают 1.
Проверки, которые ловят ошибки
- Сумма вероятностей веток, выходящих из одной точки, равна 1.
- Каждый путь доведён до конца, ни одна ветка не брошена.
- Складываются только пути, которые ведут к нужному событию.
- Итоговый ответ лежит от 0 до 1.
ФИПИ среди типичных ошибок называет сложение там, где нужно умножать, и наоборот. Подсказка из рекомендаций: «и одно, и другое» обычно ведёт к умножению, «одно или другое» к сложению. На дереве это правило видно буквально: «и» идёт вдоль пути, «или» выбирает между путями.
Какие ещё задания на вероятность есть в проекте ЕГЭ 2027 и что в них проверяют, разобрано здесь: https://www.om1.ru/news/world/438355-teorija_verojatnostejj_v_egeh_po_profilnojj_matematike_2027/
Частые вопросы
Для какого задания нужно дерево? Чаще всего для задания 5 на сложные события, где используют правило полной вероятности.
Рисовать дерево на экзамене не долго? Набросок на черновике занимает минуту и экономит время на поиск ошибки.
Обязательно ли дерево? Нет, можно считать формулами. Но на запутанных условиях картинка надёжнее.
Что делать, если ветки не дают в сумме 1? Значит, какой-то вариант пропущен или вероятность подписана неверно. Найдите ошибку до того, как считать пути.
